三、拉氏方程的首次积分

一般情况下拉氏方程所给出的质系动力学是一个二阶常微分方程组.如果存在首次积分，可使运动微分方程降阶.常见的拉氏方程的首次积分有两种：一种是动量积分和动量矩积分的推广，称为广义动量积分；另一种是机械能积分的推广，称为广义能量积分.

1、循环积分（广义动量积分）

条件：如果拉氏函数中不显含某一个广义坐标，则因，由保守系的拉氏方程可得，常数.中所不显含的坐标，称为可遗坐标也叫循环坐标.对于任一个循环坐标，都存在一个对应的积分叫做循环积分，系统中有几个循环坐标就有几个这样的首次积分.由于叫做广义速度，系统动能对的偏导数称为（相应于的）广义动量，用表示.即，所以上式又可写成常量，故循环积分也叫广义动量积分.

例　在质点抛射运动中，取，

拉氏函数为：.

由于中不显含和，故为可遗坐标，拉氏方程存在与对应的两个广义动量积分，即：常量，常量，表示水平方向上的两个动量守恒.

又如在质点有心运动中，取，

由于中不显含，故为可遗坐标，则

，

表示质点对力心（极点）的角动量守恒.

是否存在循环积分与广义坐标的选取有关，广义坐标若选的合适，循环积分就可能出现，否则循环积分就可能不出现.仍以上题中质点作有心运动为例，若取，则由于中不存在可遗坐标，故不存在循环积分．

２、能量积分

条件：若中不显含时间，即，

或者，则

.

由保守系的拉氏方程知：，

代入上式得：

，

将代入上式并移项整理得：

.

令称为哈密顿函数，则有，即常量．

结论：如果拉氏函数中不显含时间，即或者，则体系的哈密顿函数常量，称作哈密顿函数守恒或者说系统存在能量积分．至于哈密顿函数守恒或者说存在能量积分的物理意义，下面分两种情况来讨论：

(1)如果系统受稳定约束，或者说变换式，即变换式不显含时间，。在此条件下，体系的动能：，即体系的动能一定是广义速度的二次齐次函数。此时，即哈密顿函数代表体系的机械能．哈密顿函数守恒就意味着系统的机械能守恒．

(2)如果系统受非稳定约束或者说变换式，即变换式显含时间，．在此条件下，体系的动能必不是广义速度的二次齐次函数，体系的动能为，即动能由广义速度的零次齐次，一次齐次，二次齐次三部分组成．此时，叫做系统的广义能量．哈密顿函数守恒就意味着系统的广义能量守恒，即常量．