三、拉氏方程的首次积分
一般情况下拉氏方程所给出的质系动力学是一个二阶常微分方程组.如果存在首次积分，可使运动微分方程降阶.常见的拉氏方程的首次积分有两种：一种是动量积分和动量矩积分的推广，称为广义动量积分；另一种是机械能积分的推广，称为广义能量积分.
1、循环积分（广义动量积分）
2、能量积分
结论：如果拉氏函数
中不显含时间
，即
或者
，则体系的哈密顿函数
常量，称作哈密顿函数守恒或者说系统存在能量积分．至于哈密顿函数守恒或者说存在能量积分的物理意义，下面分两种情况来讨论：
(1)如果系统受稳定约束，或者说变换式
，即变换式不显含时间
，
。在此条件下，体系的动能：
，即体系的动能一定是广义速度的二次齐次函数。此时
，即哈密顿函数代表体系的机械能．哈密顿函数守恒就意味着系统的机械能守恒．
(2)如果系统受非稳定约束或者说变换式
，即变换式显含时间
，
．在此条件下，体系的动能必不是广义速度的二次齐次函数，体系的动能为
，即动能由广义速度的零次齐次，一次齐次，二次齐次三部分组成．此时
，叫做系统的广义能量．哈密顿函数守恒就意味着系统的广义能量守恒，即
常量．